Question

【题目】如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接．

（1）如图1，求点坐标；

（2）如图2，若点从点出发沿轴向左平移，连接，作等腰直角，连接，当点在线段上，求证：；

（3）在（2）的条件下若、、三点共线，求此时的度数及点坐标．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）点坐标为；（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，点坐标为．

【解析】

（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；

（2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA＝CQ；

（3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC＝135，根据全等三角形的性质得到∠BPA＝∠BQC＝135，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．

（1）作轴于，

则，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴点坐标为；

（2）∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴；

（3）∵是等腰直角三角形，∴，

当、、三点共线时，，

由（2）可知，，

∴，

∴，

∴，

∴点坐标为．

故∠APB=135，点坐标为．