Question

【题目】如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点为线段上一动点，过点作轴，轴， 垂足分别为点，，当四边形为正方形时，求出点的坐标；

（3）将（2） 中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动， 设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点， 连接，是否存在这样的，使是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋；（2）点F的坐标为(1，1)；（3）存在这样的t，使△DMN是等腰三角形，t的值为，3－或1

【解析】

（1）可得抛物线的对称轴为y轴，设顶点式y＝ax2＋，将A点坐标代入即可求得抛物线解析式；

（2）先求出线段的解析式，①当点F在第一象限时，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的代数式表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．

（1）∵点B是点A关于y轴的对称点，

∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为(0,)故抛物线的解析式可设为y＝ax2＋．

∵A(－1，2)在抛物线y＝ax2＋上，

∴a＋＝2，解得a＝－，

∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋．

（2） ①当点F在第一象限时，如图1，令y＝0得，－x2＋＝0，

解得x1＝3，x2＝－3，

∴点C的坐标为(3，0)，

设直线AC的解析式为y＝mx＋n，则有 解得，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋．

设正方形OEFG的边长为p，则F(p，p)，

∵点F(p，p)在直线y＝－x＋上，

∴－p＋＝p，解得p＝1

∴点F的坐标为(1，1)．

②当点F在第二象限时，则F(-p，p)，

∵点F(-p，p)在直线y＝－x＋上，

∴p＋＝p，解得p＝3,

∴点F的坐标为(－3，3)，此时点F不在线段AC上，故舍去．

综上所述，点F的坐标为(1，1)．

（3）过点M作MH⊥DN于点H，如图2，则OD＝t，OE＝t＋1．

∵点E和点C重合时停止运动，

∴0≤t≤2，

当x＝t时，y＝－t＋，则N(t，－t＋)，DN＝－t＋，

当x＝t＋1时，y＝－ (t＋1)＋＝－t＋1，则M(t＋1，－t＋1)，ME＝－t＋1，

在Rt△DEM中，DM2＝12＋(－t＋1)2＝t2－t＋2，

在Rt△NHM中，MH＝1，NH＝(－t＋)－(－t＋1)＝，

∴MN2＝12＋()2＝，

①当DN＝DM时，(－t＋)2＝t2－t＋2，解得t＝；

②当ND＝NM时，－t＋＝＝，解得t＝3－；

③当MN＝MD时，＝t2－t＋2，解得t1＝1，t2＝3，

∵0≤t≤2，

∴t＝1．

综上所述，存在这样的t，使△DMN是等腰三角形，t的值为，3－或1．