Question

在△ABC中，∠ACB=90°，点P和点D分别在边AB和边AC上，且PC=PD．
（1）如图1，当tanB=1时，请写出线段CD与线段PB数量关系：
（2）如图2，当tanB=2时，求证：2BC=AD+PB．
（3）如图3，在（2）的条件下，若点B关于直线CP对称点E恰好落在边AC上，连接PE、BD，BD分别交PE、CP于M、N两点，且AD=2．求线段MN的长．

Answer 1

解：（1）CD=PB．
理由：过点P分别作PH⊥AC于点H，PF⊥BC于点F，
∴∠PHC=∠PFC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴CH=PF，
∵PD=PC，
∴CH=CD，
在Rt△PBF中，tanB=1，
∴PF=BF，
∴PF=PB•sin45°=PB，
∴CD=2CH=2PF=2×PB=PB；


（2）证明：过点P分别作PH⊥AC于点H，PF⊥BC于点F，
∴∠PHC=∠PFC=90°，
∵∠BCA=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴CH=PF，
∵PD=PC，
∴CH=CD，
在Rt△PBF中，tanB=2，
即=2，
∴PF=2BF，
由勾股定理得：BP=BF，PF=BP，
∴CH=BP，CD=BP，
在Rt△ABC中，tanB=2，
同理可得：AC=2BC，
∵AC=AD+CD，
∴2BC=AD+BP；

（3）连接BE，
∵点B关于直线CP的对称点为E，
∴CP是线段BE的垂直平分线，
∴CE=CB，PE=PB，
∴∠BCP=∠ECP=∠ACB=45°，
过点P作PF⊥BC于点F，
设PB=a，
由（2）得：2BC=AD+BP，
则BC=1+a，
在Rt△CPF中，∠FCP=45°，PF=CF=a，
而BF=BP=a，
由CF+BF=BC得，a+a=1+a，
解得：a=，
即BP=，
∴BC=3，AC=2BC=6，AB=3，AP=2，CD=4，DE=1，EA=3，
∴BD==5，
过点D作AB的平行线分别交EP于点Q，交CP于点R，
由△EDQ∽△EAP，得ED：EA=DQ：AP=1：3，得DQ=，
由△QDM∽△PBM，得DM：BM=QD：PB=2：3，得DM=BD=2，
由△CDR∽△CAP，得DR：AP=CD：CA=4：6，得DR=，
由△NDR∽△NBP，得DN：BN=DR：PB=：=，得DN=BD=，
∴NM=DN-DM=-2=．
分析：（1）首先过点P分别作PH⊥AC于点H，PF⊥BC于点F，又由在△ABC中，∠ACB=90°，易得四边形PFCE是矩形，即可得CH=PF，又由tanB=1，可得∠B=45°，PF=BF，由三角函数可求得PF═PB，由PC=PD，根据三线合一的性质，可得CD=2CH=2PF，即可求得答案；
（2）证明方法同（1），首先可得四边形PFCE是矩形，CH=PF=CD，然后由勾股定理得：BP=BF，PF=BP，即可求得答案；
（3）据题意可得CP是线段BE的垂直平分线，即可得CE=CB，PE=PB，则可求得∠BCP=∠ECP=∠ACB=45°，然后利用勾股定理，借助于方程求解即可BC=3，AC=2BC=6，AB=3，AP=2，CD=4，DE=1，EA=3，然后过点D作AB的平行线分别交EP于点Q，交CP于点R，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度很大，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．