题目内容

(2013•松江区二模)如图,已知在△ABC中,AC=15,AB=25,sin∠CAB=
45
,以CA为半径的⊙C与AB、BC分别交于点D、E,联结AE,DE.
(1)求BC的长;
(2)求△AED的面积.
分析:(1)过点作CF⊥AB于点F,由AC=15,sin∠CAB=
4
5
求出CF的长,由勾股定理求出AF的长,故可得出BF的长,在Rt△BCF中,根据勾股定理可求出BC的长;
(2)由(1)中CF⊥AB可知AD=2AF,根据BC的长可得出BE的长,过点E作EG⊥AB于点G,由相似三角形的判定定理可得出△BEG∽△BCF,故可得出EG的长,再根据S△AEG=
1
2
AD•EG即可得出结论.
解答:解:(1)过点作CF⊥AB于点F,
∵AC=15,sin∠CAB=
4
5

∴CF=AC•sin∠CAB=15×
4
5
=12,
在Rt△ACF中,
∵AC=15,CF=12,
∴AF=
AC2-CF2
=
152-122
=9,
∴BF=AB-AF=25-9=16,
在Rt△BCF中,
∵BF=16,CF=12,
∴BC=
BF2+CF2
=
162+122
=20;

(2)∵CF⊥AB,AF=9,
∴AD=2AF=18,
∵BC=20,CE=AC=15,
∴BE=BC-CE=20-15=5,
过点E作EG⊥AB于点G,
∵EG∥CF,
∴△BEG∽△BCF,
EG
CF
=
BE
BC
EG
12
=
5
20
,解得EG=3,
∴S△AEG=
1
2
AD•EG=
1
2
×18×3=27.
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出相似三角形是解答此题的关键.
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