Question

18．在△ABC中，CD为高，∠CAD=30°，∠CBD=45°，AC=2$\sqrt{3}$，则AB的长为3+$\sqrt{3}$或3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在Rt△ACD中，由三角函数的意义得到AD=$\sqrt{3}$，CD=3，由等腰三角形的性质求得BD=CD=3，即可求得答案．

解答 解：如图1，在Rt△ACD中，
AD=AC•sin∠CAD=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，CD=AC•con∠CAD=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵∠CBD=45°，
∴∠B=45°，
∴BD=CD=3，
∴AB=AD+BD=3+$\sqrt{3}$，
如图2，在Rt△ACD中，
AD=AC•sin∠CAD=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，CD=AC•con∠CAD=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∵∠CBD=45°，
∴∠B=45°，
∴BD=CD=3，
∴AB=AD-BD=3-$\sqrt{3}$，
综上所述：AB的长为3+$\sqrt{3}$或3-$\sqrt{3}$，
故答案为：3+$\sqrt{3}$或3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，正确的画出图形是解题的关键．