Question

已知：二次函数（m为常数）．

（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．

     ①求m的值；

   ②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；

（2） 当0≤≤2时，求函数的最小值（用含m的代数式表示）．

Answer 1

解：（1）①∵ 二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，

∴ ．

整理，得．

解得，，．

又点A在x轴的正半轴上，

∴ ．

∴ m=4．

②由①得点A的坐标为．

∵ 四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，

∴ 点B的坐标为，点C的坐标为．

设平移后的图象对应的函数解析式为(b，c为常数)．

∴  

解得

∴平移后的图象对应的函数解析式为．

（２）函数的图象是顶点为，且开口向上的抛物线．分三种情况：

(ⅰ)当，即时，函数在0≤≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为；

(ⅱ)当0≤≤2，即0≤≤4时，函数的最小值为；

(ⅲ)当，即时，函数在0≤≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为；

      当时，函数的最小值为；

      当时，函数的最小值为．