Question

2．如图，在等边三角形ABC中，AD=$\frac{1}{3}$AB，BE=$\frac{1}{3}$BC，CF=$\frac{1}{3}$AC，显然△DEF与△ABC相似且相似比为1：$\sqrt{3}$，若DD₁=$\frac{1}{3}$DE，EE₁=$\frac{1}{3}$E，．FF₁=$\frac{1}{3}$FD，…此类推，则有△D₅E₅F₅与△ABC相似，且相似比为1：9．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，证出△DEF是等边三角形，得出△DEF∽△ABC，相似比为1：$\sqrt{3}$，同理△D₁E₁F₁∽△DEF，相似比为1：$\sqrt{3}$，得出△D₁E₁F₁∽△ABC，相似比为1：3，即可得出结论．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵AD=$\frac{1}{3}$AB，BE=$\frac{1}{3}$BC，CF=$\frac{1}{3}$AC，
∴AD=BE=CF，AF=BD=CE，
则△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是等边三角形，
∴△DEF∽△ABC，相似比为1：$\sqrt{3}$，
同理：DD₁=$\frac{1}{3}$DE，EE₁=$\frac{1}{3}$E，．FF₁=$\frac{1}{3}$FD，
∴△D₁E₁F₁∽△DEF，相似比为1：$\sqrt{3}$，
∴△D₁E₁F₁∽△ABC，相似比为1：3，
∴△D₅E₅F₅∽△ABC，相似比为1：9；
故答案为：1：9．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．