Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为上一点，AB=10，AC∶BC=3∶4。

（1）当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC的长；
（2）当点P为的中点时（如图②），求PC的长。

Answer 1

解：（1）在⊙O中，如图①， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵点P与点C关于AB对称， ∴PC⊥AB，且CD=DP， ∴由三角形面积得：CD·AB=AC·BC， ∵AB=10，AC∶BC=3∶4， ∴由勾股定理求得AC=6，BC=8 ∴CD==4.8， ∴PC=2CD=9.6；
（2）过点B作BE⊥PC于点E，连结PB， 由（1）得AC=6，BC=8 ∵点P为的中点， ∴∠ACP=∠BCP=45° 在Rt△BEC中，可求得CE=BE=， ∵∠A=∠P，∠ACB=∠BEC=90°， ∴tan∠P=tan∠A， ∴， ∴， ∴PC=CE+EP=。	图②