题目内容
已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F．① |
| AD |
|
| DC |
分析：假如①和②作为条件，③作为结论组成一个命题为真命题，理由为：连接AD，BD，由两弧相等，根据等弧所对的圆周角相等得到∠DAC=∠B，又AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，且DE与AB垂直，从而得到三角形ABD与三角形AED都是直角三角形，根据直角三角形的锐角互余，得到∠DAE与∠ADE及∠B都互余，根据等角的余角相等得到∴∠ADE=∠B，等量代换得到∠DAC=∠ADE，再利用等角对等边得到DF=AF，得证．
解答：解：如果①、②为条件，③作为结论，组成的命题为真命题，…（1分）
理由如下：
证明：连接AD、BD，
∵
=
，
∴∠DAC=∠B，…（2分）
又∵AB为直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，…（3分）
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠DAE+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴∠DAC=∠ADE，…（4分）
∴AF=DF．…（5分）
理由如下：
证明：连接AD、BD，
∵
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| AD |
|
| DC |
∴∠DAC=∠B，…（2分）
又∵AB为直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，…（3分）
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠DAE+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴∠DAC=∠ADE，…（4分）
∴AF=DF．…（5分）
点评：此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的判定，利用了转化的思想，属于开放型题，答案不唯一，只要满足题意，得到的命题为真命题都可以．
练习册系列答案
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已知：如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE相交于F．①
=
=
，∠BOE=55°，则∠AOC的度数为________度．
=
=
，∠BOE=55°，则∠AOC的度数为 度．
，②DE⊥AB，③AF=DF．