题目内容

精英家教网已知:如图,AB为⊙O的直径,AO为⊙O'的直径,⊙O的弦AC交⊙O'于D点,OC和BD相交于E点,AB=4,∠CAB=30°.求CE、DE的长.
分析:连接OD、BC,根据圆周角定理知OD、BC都与AC垂直,因此OD∥BC,而AO=OB,即OD是△ABC的中位线,因此OD:BC=1:2,易证得△OED∽△CEB,根据OD、BC的比例关系知:两个三角形的相似比为1:2,可得EC=2OE、BE=2DE,欲求CE、DE,必须先求出OC、BD的长;已知了⊙O的直径AB的长,即可得到半径OC的长,根据CE、OC的比例关系即可求出CE的值;在Rt△OAD和Rt△ABC中,通过解直角三角形,可求出AD、BC的长,由于OD⊥AC,根据垂径定理可得到CD的长,那么在Rt△BCD中,通过勾股定理即可求得BD的值,根据DE、BD的比例关系,可得到DE的长,由此得解.
解答:精英家教网解法一:连接OD、BC,(1分)
∵AO、AB分别是⊙O'和⊙O的直径,
∴∠ADO=∠ACB=90°,且AD=DC,(2分)
∴OD∥BC,BC=2OD,(3分)
∴△OED∽△CEB,
DE
BE
=
OE
CE
=
OD
BC
=
1
2
,(5分)
DE
BD
=
1
3
,CE=
2
3
OC=
1
3
AB=
4
3
,(6分)
在Rt△AOD和Rt△ABC中,∠OAD=30°,AB=4,
∴BC=2OD=
1
2
AB=2,
AC=AB•cos30°=2
3
,(8分)
∴AD=CD=
3

又在Rt△BDC中,BD=
BC2+CD2
=
7

∴DE=
1
3
BD=
7
3
.(9分)

解法二:同解法一证得AD=DC,(2分)精英家教网
可再连接O'D,则O'D∥OC,(3分)
BE
DE
=
BO
00
=2
OE
OD
=
BO
BO
=
2
3
,(4分)
∴DE=
1
3
BD,OE=
2
3
O′D=
2
3
,(6分)
以下同解法一.
点评:此题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形以及相似三角形的性质等知识,能够得到DE、BE以及CE、OE的比例关系是解答此题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网