Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AO为⊙O'的直径，⊙O的弦AC交⊙O'于D点，OC和BD相交于E点，AB=4，∠CAB=30°．求CE、DE的长．

Answer 1

分析：连接OD、BC，根据圆周角定理知OD、BC都与AC垂直，因此OD∥BC，而AO=OB，即OD是△ABC的中位线，因此OD：BC=1：2，易证得△OED∽△CEB，根据OD、BC的比例关系知：两个三角形的相似比为1：2，可得EC=2OE、BE=2DE，欲求CE、DE，必须先求出OC、BD的长；已知了⊙O的直径AB的长，即可得到半径OC的长，根据CE、OC的比例关系即可求出CE的值；在Rt△OAD和Rt△ABC中，通过解直角三角形，可求出AD、BC的长，由于OD⊥AC，根据垂径定理可得到CD的长，那么在Rt△BCD中，通过勾股定理即可求得BD的值，根据DE、BD的比例关系，可得到DE的长，由此得解．

解答：解法一：连接OD、BC，（1分）
∵AO、AB分别是⊙O'和⊙O的直径，
∴∠ADO=∠ACB=90°，且AD=DC，（2分）
∴OD∥BC，BC=2OD，（3分）
∴△OED∽△CEB，
∴

DE

BE

=

OE

CE

=

OD

BC

=

1

2

，（5分）
∴

DE

BD

=

1

3

，CE=

2

3

OC=

1

3

AB=

4

3

，（6分）
在Rt△AOD和Rt△ABC中，∠OAD=30°，AB=4，
∴BC=2OD=

1

2

AB=2，
AC=AB•cos30°=2

3

，（8分）
∴AD=CD=

3

，
又在Rt△BDC中，BD=

BC2+CD2

=

7

，
∴DE=

1

3

BD=

7

3

．（9分）

解法二：同解法一证得AD=DC，（2分）
可再连接O'D，则O'D∥OC，（3分）
∴

BE

DE

=

BO

00′

=2，

OE

O′D

=

BO

BO′

=

2

3

，（4分）
∴DE=

1

3

BD，OE=

2

3

O′D=

2

3

，（6分）
以下同解法一．

点评：此题主要考查了圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形以及相似三角形的性质等知识，能够得到DE、BE以及CE、OE的比例关系是解答此题的关键．