Question

【题目】数学问题：计算等差数列5，2，﹣1，﹣4……前n项的和．

问题探究：为解决上面的问题，我们从最简单的问题进行探究．

探究一：首先我们来认识什么是等差数列．

数学上，称按一定顺序排列的一列数为数列，其中排在第一位的数称为第1项，用a1表示：排在第二位的数称为第2项，用a2表示……排在第n位的数称为第n项，用an表示．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差，公差通常用字母d表示．如：数列2，4，6，8，…．为等差数列，其中a1＝2，公差d＝2．

（1）已知等差数列5，2，﹣1，﹣4，…则这个数列的公差d＝　 　，第5项是　 　．

（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：

a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，……an﹣an﹣1＝d，所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝a1+2d，a4＝a1+3d，……：由此可得an＝　 　（用a1和d的代数式表示）

（3）对于等差数列5，2，﹣1，﹣4，…，an＝　 　请判断﹣2020是否是此等差数列的某一项，若是，请求出是第几项：若不是，说明理由．

探究二：二百多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+4+…+100的值．我们从这个算法中受到启发，用此方法计算数列1，2，3，…，n的前n项和：由 可知

（4）请你仿照上面的探究方式，解决下面的问题：

若a1，a2，a3，…，an为等差数列的前n项，前n项和Sn＝a1+a2+a3+…+an．证明：Sn＝na1+．

（5）计算：计算等差数列5，2，﹣1，﹣4…前n项的和Sn（写出计算过程）．

Answer 1

【答案】（1）﹣3，﹣7；（2）an＝a1+（n﹣1）d；（3）﹣3n+8；（4）详见解析；（5）

【解析】

（1）由题意可知d＝2﹣5＝﹣3，则可得答案；

（2）根据题意可得an＝a1+（n﹣1）d；

（3）由等差数列5，2，﹣1，﹣4，…，可得公差，再结合题意即可得到答案；

（4）两个Sn相加，再相除即可得到答案；

（5）由a1＝5，d＝2﹣5＝﹣3，结合题意可得答案.

解：（1）d＝2﹣5＝﹣3，第5项是：﹣4﹣3＝﹣7，

故答案为：﹣3，﹣7；

（2）由题意得：an＝a1+（n﹣1）d，

故答案为：an＝a1+（n﹣1）d；

（3）等差数列5，2，﹣1，﹣4，…，

则公差d＝2﹣5＝﹣3，

∴an＝5﹣3（n﹣1）＝﹣3n+8，

5﹣3（n﹣1）＝﹣2020，

n＝676，

∴﹣2020是此等差数列的某一项，是第676项；

故答案为：﹣3n+8；

（4）证明：∵Sn＝a1+a2+a3+…+an﹣1+an…①，

∴Sn＝an+an﹣1+an﹣2+…+a2+a1 …②，

则：①+②得 2Sn＝n（a1+an），

又∵an＝a1+（n﹣1）d，

∴2Sn＝n[a1+a1+（n﹣1）d]，

∴Sn＝na1+．

（5）等差数列5，2，﹣1，﹣4…，

∵a1＝5，d＝2﹣5＝﹣3，

∴由前n项和的公式Sn＝na1+得：Sn＝5n+＝．