Question

3．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2（m≥0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C
（1）当m=1时，求点A和点B的坐标
（2）抛物线上有一点D（-1，n），若△ACD的面积为5，求m的值
（3）P为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，求$\frac{AM•BM}{PM}$的值．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-4．然后解方程$\frac{1}{2}$x²+x-4=0可得A、B的坐标；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，如图，解方程$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2=0得x₁=2，x₂=-2m-2，则A为（-2m-2，0），B（2，0），易得C（0，-2m-2），所以OA=OC=2m+2，则∠OAC=45°．利用D（-1，n）得到OE=1，AE=EF=2m+1．n=-3m-$\frac{3}{2}$，再计算出DF=m+$\frac{1}{2}$，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）（2m+2）=5．解方程得到m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-3，最后利用m≥0得到m=$\frac{3}{2}$；
（3）由（2）得点A（-2m-2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（p，q）．则AM=p+2m+2，BM=2-p，
AM•BM=-p²-2mp+4m+4，PM=-q．再利用点P在抛物线上得到q=$\frac{1}{2}$p²+mp-2m-2，所以AM•BM=2 PM，从而得到$\frac{AM•BM}{PM}$的值．

解答 解：（1）当m=1时，抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-4．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+x-4=0，解得x₁=-4，x₂=2．
∴A（-4，0），B（2，0）；
（2）过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，如图，
当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+mx-2m-2=0，则（x-2）（x+2m+2）=0，
解得x₁=2，x₂=-2m-2，
∴点A的坐标为（-2m-2，0），B（2，0），
当x=0时，y=-2m-2，则C（0，-2m-2），
∴OA=OC=2m+2，
∴∠OAC=45°．
∵D（-1，n），
∴OE=1，
∴AE=EF=2m+1．
当x=-1时，n=$\frac{1}{2}$-m-2m-2=-3m-$\frac{3}{2}$，
∴DE=3m+$\frac{3}{2}$，
∴DF=3m+$\frac{3}{2}$-（2m+1）=m+$\frac{1}{2}$，
又∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$DF•AO．
∴$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{2}$）（2m+2）=5．
2m²+3m-9=0，解得m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-3．
∵m≥0，
∴m=$\frac{3}{2}$；
（3）点A的坐标为（-2m-2，0），点B的坐标为（2，0）．
设点P的坐标为（p，q）．则AM=p+2m+2，BM=2-p，
AM•BM=（p+2m+2）（ 2-p）=-p²-2mp+4m+4，
PM=-q．
因为点P在抛物线上，
所以q=$\frac{1}{2}$p²+mp-2m-2．
所以AM•BM=2 PM．
即$\frac{AM•BM}{PM}$=2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．