Question

【题目】已知：正方形与正方形共顶点.

（1）探究：如图，点在正方形的边上，点在正方形的边上，连接.求证：；

（2）拓展：将如图中正方形绕点顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由;

（3）运用：正方形在旋转过程中，当，，三点在一条直线上时，如图所示，延长交于点.若，GH=2，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）线段与之间的数量关系为；理由见解析；（3）.

【解析】

（1）连接，由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；

（2）连接，，只需证△ACG∽△BCE即可得；

（3）证△AHG∽△CHA得，设BC=CD=AD=a，知AC=a，由得AH=a、DH=a、CH=a，由可得a的值．

（1）连接

∵四边形是正方形，∴，，

∵四边形是正方形，∴，，

∴，，三点在一条直线上

∵， ∴

∴ ∴

（2）连接，，

∵ ∴，

在和中，

、，

∴， ∴， ∴，

∴线段与之间的数量关系为；

（3）由（2）可知

∵，点、、三点共线， ∴，

∵， ∴，

∴，

∵， ∴，

∴，

设，则，

则由得， ∴，

则，， ∴得，

解得：，即，