Question

3．（1）填空：S₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；S₂=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{2}{3}$
S₃=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）=$\frac{5}{8}$；S₄=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）=$\frac{3}{5}$
（2）猜想S₅=$\frac{7}{12}$S₆=$\frac{4}{7}$；
（3）写出S_n化简后的结果，并求当n=99时，S₉₉的值．

Answer 1

分析 （1）利用平方差公式因式分解求得答案即可；
（2）由计算的结果可以看出S_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+2}{n+1}$，由此得出答案即可；
（3）由（2）代入求得答案即可．

解答 解：（1）填空：S₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；S₂=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）=$\frac{2}{3}$
S₃=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）=$\frac{5}{8}$；S₄=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）=$\frac{3}{5}$
（2）猜想S₅=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{6}$=$\frac{7}{12}$，S₆=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{7}$=$\frac{4}{7}$；
（3）S_n=$\frac{1}{2}$×$\frac{n+2}{n+1}$，S₉₉=$\frac{1}{2}$×$\frac{99+2}{99+1}$=$\frac{101}{200}$．

点评 此题考查数字的变化规律，用平方差公式找出运算的方法与规律，利用方法与规律解决问题．