Question

8．如图扇形OAPB是半径为2的⊙O的一部分，点P是弧AB上一点，PM⊥AO，PN⊥BO，垂足分别为M、N，且∠AOB=120°．
（1）当点P为$\widehat{AB}$的中点时，求线段MN的长度．
（2）当点P为$\widehat{AB}$上一动点时，不与点A、B重合，判断线段MN的长度是否为定值．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长PM，PN分别交⊙O于E，F，连接PO，根据四边形的内角和得到∠MPN=60°，根据全等三角形的性质得到PM=PN，根据垂径定理得到PE=2PM，PF=2PN，推出△PEF是等边三角形，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）延长PM，PN交⊙O于Q，S，根据垂径定理得到PM=QM，PN=NS，根据等腰三角形的性质得到∠POA=∠QOA，∠PON=∠SON，根据周角的定义得到∠QOS=120°，过O作OK⊥QS于K，解直角三角形得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长PM，PN分别交⊙O于E，F，连接PO，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
∵∠AOB=120°，
∴∠MPN=60°，
∵点P为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠POM=∠PON，
在△POM与△PON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMO=∠PNO}\\{∠POM=∠PON}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PMO≌△PNO，
∴PM=PN，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PE=2PM，PF=2PN，
∴PE=PF，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE=EF，
∵OP=2，
∴PM=PN=$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{3}$；

（2）延长PM，PN交⊙O于Q，S，
∵PM⊥AO，PN⊥BO，
∴PM=QM，PN=NS，
∵OP=OQ=OS，
∴∠POA=∠QOA，∠PON=∠SON，
∴∠QOS=120°，
过O作OK⊥QS于K，
∴∠QOK=60°，QK=SK，∴QK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OQ=$\sqrt{3}$，
∴QS=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$QS=$\sqrt{3}$（定值），
∴MN的长度是定值．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．