Question

8．如图，直线$y=\frac{1}{2}x+2$分别交x轴、y轴于A、C两点，且与双曲线$y=\frac{k}{x}$在第一象限交于点P，作PB⊥x轴于B，S_△ABP=9．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）求双曲线的函数式．

Answer 1

分析 （1）对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$，令y=0，则$\frac{1}{2}$x+2=0，解得A的坐标；令x=0，则求得C的坐标；
（2）求出AB，PB的长，AB的长为点A的横坐标的绝对值加上点P的横坐标，PB为点P的纵坐标，再利用待定系数法确定出k的值而求出反比例函数的解析式．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-4，
∴直线与x轴的交点A坐标为A（-4，0），
令x=0，则y=$\frac{1}{2}$×0+2=2，
∴直线与x轴的交点B坐标为（0，2）；
（2）设点P的坐标为（x_P，$\frac{1}{2}$x_P+2）且在第一象限，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$|（$\frac{1}{2}$x_P+2）×[x_P-（-4）]|=9，
∴x_P=2（负值不合题意，舍去），即点P的坐标为（2，3），
∴k=2×3=6
反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是如何表示△ABP的面积，即如何表示AB，PB的长，AB的长为点A的横坐标的绝对值加上点P的横坐标，PB为点P的纵坐标，再利用待定系数法确定出k的值而求出反比例函数的解析式．