Question

2．已知直线l：y=x，抛物线C：y=x²+bx+c．
（1）当b=4，c=1时，求直线l与抛物线C的交点坐标；
（2）当b=$\sqrt{3}$，c=-4时，将直线l绕原点逆时针旋转15°后与抛物线C交于A，B两点（A点在B点的左侧），求A，B两点的坐标；
（3）若将（2）中的条件“c=-4”去掉，其他条件不变，且2≤AB≤4，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立方程，解方程求得即可；
（2）由题意得旋转后的直线的解析式为y=$\sqrt{3}$x，然后联立方程，解方程求得即可；
（3）根据题意求得$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$交点坐标，然后根据勾股定理表示出AB，得出不等式，解不等式即可求得c的取值范围．

解答 解：（1）∵b=4，c=1，
∴抛物线C：y=x²+4x+1．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+4x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线l与抛物线C的交点坐标是（$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$）；
（2）设直线绕原点逆时针旋转15°得到直线AB，
而直线l与x轴的夹角为45°，
∴旋转后直线AB与x轴的夹角为60°，
∴旋转后的直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{y={x}^{2}+\sqrt{3}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴A（-2，-2$\sqrt{3}$），B（2，2$\sqrt{3}$）；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+\sqrt{3}x+c}\\{y=\sqrt{3}x}\end{array}\right.$
整理得，x²+c=0，
解得x=±$\sqrt{-c}$，
∴A（-$\sqrt{-c}$，-$\sqrt{-3c}$），B（$\sqrt{-c}$，$\sqrt{-3c}$），
∴AB=$\sqrt{（{\sqrt{-c}+\sqrt{-c}）}^{2}+（{\sqrt{-3c}+\sqrt{-3c}）}^{2}}$=4$\sqrt{-c}$，
∵2≤AB≤4，
∴2≤4$\sqrt{-c}$≤4，
∴-1≤c≤-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数的图象与几何变换，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．