Question

1．如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（　　）

• A． 20
• B． 10
• C． 4$\sqrt{13}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 根据矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，利用三角形中位线定理求证EF=GH=FG=EH，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH的周长即可．

解答 解：如图，连接BD，AC．
在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，∠DAB=90°，则由勾股定理易求得BD=AC=2$\sqrt{13}$．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，EF∥AC，
又GH为△BCD的中位线，
∴GH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{13}$，GH∥AC，
∴HG=EF，HG∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理可得：FG=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，EH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{13}$，
∴EF=GH=FG=EH=$\sqrt{13}$，
∴四边形EFGH是菱形．
∴四边形EFGH的周长是：4EF=4$\sqrt{13}$，
故选：C．

点评 此题主要考查学生对菱形的判定、三角形中位线定理、和矩形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是利用三角形中位线定理求证EF=GH=FG=EH．