Question

12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD=2EC；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定义解答即可；
②延长CE交BA的延长线于点G得出CE=GE，再利用AAS证明△ABD≌△ACG，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．

解答 解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠CBA=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，
∵∠CDE=∠BDA，
∴∠ECD=∠DBA=22.5°；
②延长CE交BA的延长线于点G，如图1：

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=GE，
在△ABD与△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠ACG}\\{∠BAC=∠CAG}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD=CG=2CE；
（2）结论：BE-CE=2AF．
过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2：

∵AH⊥AE，
∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△ABH与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠ECA}\\{AB=AC}\\{∠BAH=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE=BH，AH=AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF=EF=HF，
∴BE-CE=2AF．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确的构建出与所求和已知相关的全等三角形，是解答本题的关键．