题目内容
【题目】我国宋朝数学家杨在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图所示），此图揭示了
（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……根据以上规律，解答下列问题：
（1）
展开式共有________项，系数分别为________．
（2）展开式共有________项，系数和为________．
（3）
展开结果为________．
（4）利用上面的规律计算：
．
【答案】（1）5 ， 1、4、6、4、1；（2）
， 
；（3）
；（4）1．
【解析】
（1）展开
，看共有多少项，各项系数分别为多少；
（2）猜想：
展开式共有n+1项，系数和为（n为非负整数），代入
猜想均成立，则猜想成立；
（3）根据以上归纳的规律，代入
，得出
展开结果；
（4）根据以上归纳的规律对原式进行计算即可．
（1）
∴展开式共有5项，系数分别为1，4，6，4，1．
（2）猜想：展开式共有项，系数和为 （n为非负整数）
当
,展开式有2项，系数和为2，成立；
当
,展开式有3项，系数和为4，成立；
当
,展开式有4项，系数和为8，成立；
当
,展开式有5项，系数和为16，成立；
∴猜想成立，展开式共有项，系数和为 （n为非负整数）．
（3）展开结果为．
（4）原式
．
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