Question

10．证明：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$•（3+$\sqrt{5}$）•（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）=8．

Answer 1

分析 先化简复合二次根式得到等式左边=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$•（3+$\sqrt{5}$）•$\sqrt{2}$（$\sqrt{5}$-1），然后利用完全平方公式和平方差公式计算得到左边=8．

解答 证明：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$•（3+$\sqrt{5}$）•（$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$）
=$\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}$•（3+$\sqrt{5}$）•$\sqrt{2}$（$\sqrt{5}$-1）
=$\frac{\sqrt{（\sqrt{5}-1）^{2}}}{\sqrt{2}}$•（3+$\sqrt{5}$）•$\sqrt{2}$（$\sqrt{5}$-1）
=$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}$•（3+$\sqrt{5}$）•$\sqrt{2}$（$\sqrt{5}$-1）
=（$\sqrt{5}$-1）²•（3+$\sqrt{5}$）
=（6-2$\sqrt{5}$）（3+$\sqrt{5}$）
=2（3-$\sqrt{5}$）（3+$\sqrt{5}$）
=2×（9-5）
=8．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式；在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．