Question

16．如图，长方形ABCD中，AD=8cm，AB=4cm，沿EF折叠，使点D落到点B处，点C落到点C′处
（1）求DE的长；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）首先由折叠的性质知BE=ED，设BE=ED=x，在RT△ABE中利用勾股定理解决．
（2）由ED=EB，∠BEG=∠DEG得△BDE是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得BG=GD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE的长，进而得到ED的长，再次利用勾股定理计算出EG的长，然后证明△BGF≌△DGE，继而得到GF=EG，从而得到EF的长．

解答 解：（1）解：由折叠的性质知，BE=ED设BE=ED=x，则AE=8-x，
在Rt△ABE中：AE²+AB²=BE²，
则x²+4²=（8-x）²，
解得：x=5，
∴ED=5，
（2）连接BD，交EF于点G，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，
则△BDE是等腰三角形，
∵∠BEG=∠DEG，
∴BG=GD，BD⊥EF（顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线），
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵BG=DG，
∴DG=$\frac{1}{2}$DB=2$\sqrt{5}$，
在Rt△EDG中：EG²+DG²=ED²，
EG=$\sqrt{E{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵BD⊥EF，
∴∠BGF=∠EGD=90°，
∵AD∥CB，
∴∠EDG=∠GBF，
又∵BG=DG，
∴△BGF≌△DGE，
∴GF=EG=$\sqrt{5}$，
∴EF=2EG=2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质，关键是熟练掌握勾股定理，利用折叠不变性是解决题目的关键．