Question

9．已知：如图，9×9的网格中（每个小正方形的边长为1）有一个格点△ABC．
（1）利用网格线，画∠CAB的角平分线AQ，画BC的垂直平分线，交AQ于点D，交直线AB于点E；
（2）连接CD、BD，则∠CDB=90°；
（3）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的对角形即可画出图形，
（2）利用线段的垂直平分线证明，
（3）利用△EFB∽△CAB证明．

解答 解：（1）如图即为所求；

（2）如图，

根据线段中垂线上的点到线段两顶点的距离相等．
（3）如图，

∵∠ABC=∠FBE，∠CAB=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△CAB，
∴$\frac{FB}{AB}$=$\frac{EB}{BC}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{EB}{2\sqrt{13}}$，解得EB=$\frac{13}{2}$，
∴AE=EB-AB=$\frac{13}{2}$-4=$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是灵活的运用网格图．