Question

9．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10$\sqrt{5}$cm，且tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，那么该矩形的周长为72cm．

Answer 1

分析 如图，首先求出CE=3λ，则CF=4λ（λ为参数）；进而求出BF=6λ，AB=8λ，此为解决该题的关键性结论；在直角△ADE中，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．

解答 解：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC；∠B=∠D=∠C=90°；
∵tan∠EFC=$\frac{3}{4}$，且tan∠EFC=$\frac{CE}{CF}$，
∴设CE=3λ，则CF=4λ；
由勾股定理得：EF=5λ；
由题意得：EF=ED=5λ，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=DC=8λ，∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}=\frac{3}{4}$，
∴BF=6λ，AD=BC=10λ；在直角△ADE中，
由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，而AE=10$\sqrt{5}$，
解得：λ=2，
∴该矩形的周长=2（8λ+10λ）=72（cm）．
故答案为72cm．

点评 该题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是观察图形，找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答．