题目内容

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）、（0，2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，抛物线y=ax²-2ax+4经过点A．
（1）求抛物线的函数表达式，并判断点D是否在该抛物线上；
（2）如图2，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求使|PC-PD|的值最大时点P的坐标；
（3）设抛物线上是否存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）将A点（4，0）代入解析式得出抛物线的函数表达式，并求出D点的坐标，并判断点D是否在该抛物线上．
（2）求|PC-PD|的值最大时点P的坐标，应延长CD交对称轴于点P．因为|PC-PD|小于或等于第三边即CD，当|PC-PD|等于CD时，|PC-PD|的值最大．
（3）假设存在这样一个点E，（x，-

1

2

x²+x+4），利用勾股定理可以求出．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax+4经过点A，
A点的坐标为（4，0）
∴解析式为：y=-

1

2

x²+x+4
∵△OAB绕点O逆时针旋转90°后得到△OCD，∴D点的坐标为（-2，0）
代入y=-

1

2

x²+x+4可得，D点在解析式上．

（2）如图1：
∵在三角形PCD中，由两边之差小于第三边，

∴|PC-PD|＜CD，当P在线段DC延长线上时，|PC-PD|的值最大，为CD的长，
过C（0，4），D（-2，0）的直线为y=2x+4，
∵当x=1时，y=2×1+4=6，
∴抛物线对称轴交点为（1，6），
∴|PC-PD|的值最大时点P的坐标（1，6）；

（3）如图2，假设存在这样一个点E，（x，-

1

2

x²+x+4），使△CDE是以CD为直角边的直角三角形，
故EF²+CF²=CE²，EG²+DG²=DE²∴EC²+CD²=DE²∴DE²=EF²+CF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-

1

2

x²+x+4）]²+20=（-

1

2

x²+x+4）²+（x+2）²∴整理得：4x²-12x=0（2）
解得：x₁=0（不合题意舍去），x₂=3
代入（x，-

1

2

x²+x+4），得（3，

5

2

）
∴E点坐标为（3，

5

2

）．
∴抛物线上存在点E，使△CDE是以CD为直角边的直角三角形．
如图3，假设存在这样一个点E′（x，-

1

2

x²+x+4），使△CDE是以CD为直角边的直角三角形，
作E′F⊥x轴于点F，E′N⊥y轴于点N，

故E′F²+DF²=DE^′2，CN²+NE′²=CE^′2，OD²+CO²=DC²，
∴CE^′2=E′F²+DF²+OC²+DO²
∴x²+[4-（-

1

2

x²+x+4）]²=20+（-

1

2

x²+x+4）²+（x+2）²∴整理得：x²-3x-10=0
解得：x₁=-2（不合题意舍去），x₂=5，
代入（x，-

1

2

x²+x+4），得（5，-3.5）
∴E′点坐标为（5，-3.5）．
∴抛物线上存在点E（5，-3.5），（3，

5

2

），使△CDE是以CD为直角边的直角三角形

点评：此题主要考查了：
（1）待定系数法求二次函数解析式，即A点（4，0）代入y=ax²-2ax+4，
（2）勾股定理的应用和作对称点问题，综合性较强．

练习册系列答案

一通百通同步训练系列答案

必胜课小学同步训练系列答案

语文周报高效提升金刊系列答案

郑州一中主体课堂系列答案

中考档案系列答案

中考夺分系列答案

竟赢高效备考系列答案

同步练习册文心出版社系列答案

实验教材新学案系列答案

0系列答案

相关题目

23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作

在平面直角坐标系中，将一块腰长为2

cm的等腰直角三角板ABC如图放置，BC边与x轴重合，∠ACB=90°，直角顶点C的坐标为（-3，0）．
（1）点A的坐标为

，点B的坐为

；
（2）求以原点O为顶点且过点A的抛物线的解析式；
（3）现三角板ABC以1cm/s的速度沿x轴正方向平移，则平移的时间为多少秒时，三角板的边所在直线与半径为2cm的⊙O相切？

学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图)

(1)按照这种规定填写下表：

(2)根据表中的数据，将s作为纵坐标，n作为横坐标，在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点．

(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函数的解析式，并利用你探求的结果，求出当n＝10时，s的值．

阅读下面的材料：

小明在研究中心对称问题时发现：

如图1，当点为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点再绕着点旋转180°得到点，这时点与点重合.

如图2，当点、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点，点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.

（1）请在图2中画出点、，小明在证明P、两点关于点中心对称时，除了说明P、、三点共线之外，还需证明；

（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，当、、为旋转中心时，点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点；点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点，则点的坐标为（），点的坐为．

在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），
（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
（2）请写出平移后点A′的坐标，记作______．