Question

12．已知△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且关于x的一元二次方程b（x²-1）-2ax+c（x²+1）=0有两个相等的实数根．
①判断△ABC的形状；  
②若a=b，求a：b：c的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得出△=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断；
（2）由a=b且a²+b²=c²可得c=$\sqrt{2}$a，即可得答案．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有两个相等实数根，
∴△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形．

（2）若a=b，则c²=2a²，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴a：b：c=1：1：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．