Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE＝PB．

(1)求证：①PE＝PD；②PE⊥PD；

(2)设AP＝x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证法一： 　　①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线， 　　∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°　　(1分) 　　∵PC＝PC， 　　∴△PBC≌△PDC(SAS)　　(2分) 　　∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC　　(3分) 　　又∵PB＝PE， 　　∴PE＝PD　　(4分) 　　②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， 　　∵PB＝PE， 　　∴∠PBE＝∠PEB， 　　∴∠PEB＝∠PDC， 　　∴∠PEB＋∠PEC＝∠PDC＋∠PEC＝180°， 　　∴∠DPE＝360°－(∠BCD＋∠PDC＋∠PEC)＝90°， 　　∴PE⊥PD　　(6分) 　　(ii)当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD． 　　(iii)当点E在BC的延长线上时，如图． 　　∵∠PEC＝∠PDC，∠1＝∠2， 　　∴∠DPE＝∠DCE＝90°， 　　∴PE⊥PD． 　　综合(i)(ii)(iii)，PE⊥PD　　(7分) 　　(2)①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF＝FE． 　　∵AP＝x，AC＝， 　　∴PC＝－x，PF＝FC＝． 　　BF＝FE＝1－FC＝1－()＝． 　　∴S△PBE＝BF·PF＝()　　(9分) 　　即　(0＜x＜)　　(10分) 　　②　　(11分) 　　∵＜0， 　　∴当时，y最大值　　(12分) 　　(1)证法二：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示． 　　∵四边形ABCD是正方形， 　　∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， 　　△AGP和△PFC都是等腰直角三角形． 　　∴GD＝FC＝FP，GP＝AG＝BF，∠PGD＝∠PFE＝90°． 　　又∵PB＝PE， 　　∴BF＝FE， 　　∴GP＝FE， 　　∴△EFP≌△PGD(SAS)　　(3分) 　　∴PE＝PD　　(4分) 　　②∴∠1＝∠2． 　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°． 　　∴∠DPE＝90°． 　　∴PE⊥PD　　(7分) 　　(2)①∵AP＝x， 　　∴BF＝PG＝，PF＝1－　　(8分) 　　∴S△PBE＝BF·PF＝()　　(9分) 　　即(0＜x＜)　　(10分) 　　②　　(11分) 　　∵＜0， 　　∴当时，y最大值　　(12分) 　　(注：用其它方法求解参照以上标准给分．)