Question

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．若∠A=80°，求∠BOC的度数；

（2）如图②，△A′B′C′两个外角（∠C′B′D、∠B′C′E）的平分线相交于点O′，∠A′=80°，求∠B′O′C′的度数；
（3）由（1）、（2），可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？设∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？
（4）如图③，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，则∠A和∠P的数量关系是

 

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Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：几何图形问题

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠2+∠COB=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，经过变形后得到∠BOC=90°+

1

2

∠A，然后把∠A=70°代入计算即可；
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠B′C′O′=

1

2

（∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′=

1

2

（∠A′+∠A′C′B′）；再利用三角形内角和定理便可求出∠O′的度数．
（3）根据（1）、（2）可得出结论；
（4）根据角平分线定义得出∠ABC=2∠PBC，∠ACE=2∠PCE，根据三角形外角性质得出2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，求出∠A=2∠P，即可求出答案．

解答：解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∵∠1+∠2+∠COB=180°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠COB，

1

2

（∠ABC+∠ACB+∠A）=90°，
∴180°-∠COB+

1

2

∠A=90°，
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BOC=90°+

1

2

×80°=130°；

（2）∵B′O′、C′O′为△A′B′C′两外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分线，∠A°=80°，
∴∠B′C′O′=

1

2

（∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′=

1

2

（∠A′+∠A′C′B′）；
由三角形内角和定理得：
∠O′=180°-∠B′C′O′-∠C′B′O′=180°-

1

2

[∠A′+（∠A′+∠A′B′C′+∠A′C′B′）]=180°-

1

2

（∠A′+180°）
=90°-

1

2

×80°=90°-40°=50°；

（3）由（1）、（2）可知，∠BOC+∠B′O′C′=180°；
设∠A=∠A′=n°，则∠BOC=90°+

1

2

∠A；∠B′O′C′=90°-

1

2

∠A′；

（4）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACE=2∠PCE，
∵∠ACE=2∠PCE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∴2∠PCE=2∠P+2∠PBC，
∴∠ACE=2∠P+∠ABC，
∴2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC，
∴∠A=2∠P．
故答案为：∠A=2∠P．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．