Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=8$\sqrt{3}$，AD=10，点E是CD的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则下列结论正确的个数是（　　）
①ME∥HG；②△MEH是等边三角形；③∠EHG=∠AMN；④tan∠EHG=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据折叠的性质可得EM∥GH，再根据等量代换，即可得出∠AMN=∠EHG；在直角三角形中运用勾股定理，即可得出AM=EM=7.4，再根据相似三角形的性质，即可得出EN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$=AN，进而得到tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{5}{6}\sqrt{3}$=tan∠EHG，最后根据∠EMH≠60°，可得△MEH不是等边三角形．

解答 解：如图3，由折叠可得，∠MEN=∠A=90°，HG⊥NE，
即ME⊥EN，HG⊥EN，
∴EM∥GH，故①正确；
∴∠NME=∠NHG，
由折叠可得，∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，
∴∠AMN=∠EHG，故③正确；
如图2，作NF⊥CD于F．
设DM=x，则AM=EM=10-x，
∵点E是CD的中点，AB=CD=8$\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△DEM中，∵DM²+DE²=EM²，
∴（4$\sqrt{3}$）²+x²=（10-x）²，
解得x=2.6，
∴DM=2.6，AM=EM=7.4，
∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，
∴∠DEM=∠ENF，
∵∠D=∠EFN=90°，
∴△DME∽△FEN，
∴$\frac{DE}{FN}$=$\frac{EM}{EN}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{10}$=$\frac{7.4}{EN}$，
∴EN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$，
∴AN=$\frac{37}{6}\sqrt{3}$，
∴tan∠AMN=$\frac{AN}{MN}$=$\frac{5}{6}\sqrt{3}$，
∴tan∠EHG=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$，故④正确；
又∵tan60°=$\sqrt{3}$＞$\frac{5}{6}\sqrt{3}$，
∴∠AMN≠60°，即∠EMH≠60°，
∴△MEH不是等边三角形，故②错误．
∴正确的结论有3个．
故选：C．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．