题目内容

如图1，在ΔABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，小明通过以下计算：由题意，∠B=30°，∠C=90°，c=2b，a=b，得a2-b2=（b）2-b2=2b2=b·c，即a2-b2= bc，于是，小明猜测：对于任意的ΔABC，当∠A=2∠B时，关系式a2-b2=bc都成立。
（1）如图2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由。

解：（1） 由题意，得∠A=90°，c=b，a=b，
∴a2-b2=（b）2-b2=b2=bc；
（2） 小明的猜想是正确的，
理由如下：如图3，延长BA至点D，使AD=AC=b，连结CD，则ΔACD为等腰三角形，
∴∠BAC=2∠ACD，
又∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠ACD=∠D，
∴ΔCBD为等腰三角形，
即CD=CB=a，
又∠D=∠D，
∴ΔACD∽ΔCBD，
∴，
即，
∴a2=b2+bc，
∴a2-b2= bc；
（3）a=12，b=8，c=10。

练习册系列答案
相关题目
已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：
PE
CE
=
1
2
；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．精英家教网
我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说精英家教网明理由．
（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC．求证：AB+AC＞
BC2+CD2
；
（2）已知：如图2，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断（AC+BC）2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论．
精英家教网
如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=
DE
BD
．如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，λC=
1
3
1
3
．
如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
（1）求证：∠AOC=90°+
12
∠ABC；
（2）当∠ABC=90°时，且AO=3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．