Question

如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10cm．图中阴影部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

分析：连接OA、OD，则阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积．要求扇形的面积，需要求得扇形的圆心角的度数和圆的半径．根据题目中的条件不难发现等边三角形AOD、AOB、COD，从而求解．

解答：解：连接OA、OD．
∵AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=30°，
∴∠AOD=2∠ACD=60°，∠OAC=∠ACO=30°．
∴∠BAC=90°，
∴BC是直径，
又∵OA=OD=OB=OC，
则△AOD、△AOB、△COD都是等边三角形．
∴AB=AD=CD．
又∵四边形ABCD的周长为10cm，
∴圆的半径是10÷5=2（cm）．
∴阴影部分的面积=

60π×4

360

-

3 ×2

2

=

2π

3

-

3

（cm²）．
故答案为（

2π

3

-

3

）cm²．

点评：此题综合考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定和性质以及等边三角形的面积公式．