Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，AE是⊙O的切线，∠CAE=60°．
（1）求∠D的度数；
（2）当BC=4时，求劣弧AC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,弧长的计算

专题：

分析：（1）根据切线的性质得出∠BAE=90°，根据∠BAC=∠BAE-∠CAE，求出∠BAC的度数，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ABC=90°，求出∠B的度数，再根据∠D=∠B，即可得出∠D的度数；
（2）连接OC，根据OB=OC，∠B=60°，得出△OBC是等边三角形，求出OB=BC=4，∠BOC=60°，从而得出∠AOC=120°，再根据弧长公式即可得出答案．

解答： 解：（1）∵AE是⊙O的切线，
∴AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵∠CAE=60°，
∴∠BAC=∠BAE-∠CAE=90°-60°=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠B=60°，
∵∠D=∠B，
∴∠D=60°；

（2）连接OC，
∵OB=OC，∠B=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC=4，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长是：

120π×4

180

=

8π

3

．

点评：此题考查了切线的性质，用到的知识点是圆周角定理、弧长公式、等边三角形的性质等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．