Question

6．如图，已知抛物线与x轴交于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，4）点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点E在x轴上，点P（x，y）是抛物线在第一象限上的点，△APC≌△APE，求E，P两点坐标；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠AMC是锐角？若存在，求出点M的纵坐标n的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，故设抛物线解析式为两点式：y=a（x+3）（x-4）（a≠0）．然后把点C的坐标代入，列出关于系数a的方程，通过解方程来求a的值；
（2）连接AP交OC于F点，设F（0，t），连接EF，由△APC≌△APE，得出AE=AC，得出OE的长即可得出点E坐标，由对称性得EF=CF，利用勾股定理求出t，确定点F的坐标，可求得直线AF的表达式，与抛物线联立得出点P的坐标．
（3）作辅助线以AC为直径画⊙N，交对称轴l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，易得点N的坐标，可求出NQ，NS的长，由勾股定理得SQ，即可得到S，T的坐标，由圆的知识可得出点M在S，T之间时∠AMC是钝角．所以得出点S、T的纵坐标n的取值范围．

解答 解：（1）如图1，设y=a（x+3）（x-4）（a≠0）．
∵C（0，4），
∴a=$-\frac{1}{3}$，
∴y=$-\frac{1}{3}$（x+3）（x-4）（也可写作y=$-\frac{1}{3}$x²$+\frac{1}{3}$x+4）；

（2）如图2，连接AP交OC于F点，设F（0，t），连接EF，
由题意可得AC=5，
∵△APC≌△APE，
∴AE=AC=5，AP平分∠CAE．
∴OE=5-3=2，点E坐标为（2，0）．
∵AP平分∠CAE，
∴由对称性得EF=CF=4-t．
在Rt△EOF中，OE²+OF²=EF²，
∴2²+t²=（4-t）²，解得t=$\frac{3}{2}$．
∴点F坐标为F（0，$\frac{3}{2}$）．            
设直线AF的表达式y=kx+$\frac{3}{2}$（k≠0），
将点A（-3，0）代入，得
0=-3k+$\frac{3}{2}$，
解得 k=$\frac{1}{2}$．
则直线AF的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
∴依题意得到：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{1}{3}x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{11}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$）．
综上所述，点P、E的坐标分别是：（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$），（2，0）．     
 
（3）如图3，以AC为直径画⊙N，交对称轴l于S，T，作NQ⊥l于Q，NQ交y轴于J，连接NS，
∵C（0，4），点A坐标为（-3，0），N为AC的中点，
∴N为（$-\frac{3}{2}$，2）．
∵抛物线的对称轴方程是直线x=1．
∴NQ=2，NS=$\frac{5}{2}$；                  
在Rt△SNQ中由勾股定理得SQ=$\frac{5}{2}$，
∴S，T的坐标分别为（1，$\frac{7}{2}$）和（1，$\frac{1}{2}$），
利用点和圆的位置关系（圆外角＜小于圆周角=90°）
∴n＞$\frac{7}{2}$，n＜$\frac{1}{2}$．
∵n=$\frac{14}{3}$时A，C，S三点共线．
∴n＜$\frac{1}{2}$或n＞$\frac{7}{2}$且n≠$\frac{14}{3}$成立．

点评 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及全等三角形的性质，一次函数解析式及圆的有关知识．解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用二次函数与方程、几何知识的结合．