Question

如图，在矩形铁片ABCE上剪下以A为圆心，AD为半径的扇形，再在余下的部分剪下一个尽可能大的圆形铁片，如果要使这个圆形铁片恰好是扇形铁片所做成的圆锥的底面，那么矩形铁片的长a和宽b应满足什么条件？

Answer 1

考点：圆锥的计算

专题：

分析：首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．

解答：解：∵AB=b，∠B=90°，
∴

AE

=

90πb

180

=

bπ

2

，
设⊙O与AD、CD分别相切于F、G，
连接FO并延长交BC于H，则FH垂直于AD，OG垂直于CD，
可得矩形ABHF、矩形CDFH、矩形CGOH和正方形DFOG，
∴FE⊥BC，
设OG=OF=r，
则2πr=

bπ

2

，
解得：r=

b

4

，
∴AD=BC=a=AF+FD=b+

b

4

，
整理得：4a=5b．

点评：本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式．