Question

5．如图1，A₁B₁和A₂B₂是水面上相邻的两条赛道（看成两条互相平行的线段）．
甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A₁B₁上从A₁处出发，到达B₁后，以同样的速度返回A₁处，然后重复上述过程；乙在赛道A₂B₂上以2m/s的速度从B₂处出发，到达A₂后以相同的速度回到B₂处，然后重复上述过程（不考虑每次折返时的减速和转向时间）．若甲、乙两人同时出发，设离开池边B₁B₂的距离为y（m），运动时间为t（s），甲游动时，y（m）与t（s）的函数图象如图2所示．
（1）赛道的长度是50m，甲的速度是25m/s；
（2）分别写出甲在0≤t≤20和20＜t≤40时，y关于t的函数关系式：当0≤t≤20，y=-2.5t+50；当20＜t≤40时，y=2.5t-50；
（3）在图2中画出乙在2分钟内的函数大致图象（用虚线画）；
（4）请你根据（3）中所画的图象直接判断，若从甲、乙两人同时开始出发到2分钟为止，甲、乙共相遇了几次？2分钟时，乙距池边B₁B₂的距离为多少米．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可以直接得出赛道的长度为50米，由路程÷时间=速度就可以求出甲的速度．
（2）先根据图象的形状，可判断出甲在0≤t≤20和20＜t≤40时，y都是t的一次函数，设出其解析式，再运用待定系数法求解；
（3）乙的速度为2m/s，由B₂到达A₂的路程为赛道的长度50m，根据时间=路程÷速度，即可求出乙由B₂到达A₂的时间为25s；乙在2分钟内可运动2个来回，每25s可从赛道一端运动到另外一端，起点在原点，据此在图2中画出乙在2分钟内的函数图象；
（4）两个图象的交点个数即为相遇次数，根据乙船在2分钟内可运动2个来回，每25s可从赛道一端运动到另外一端，所以2分钟时，乙距池边B₁B₂的距离为20秒所游的路程．

解答 解：（1）由图象，得
赛道的长度是：50米，
甲的速度是：50÷20=2.5m/s．
故答案为：50，25；
（2）当0≤t≤20时，设y=k₁x+b₁，
把（0，50），（20，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=50}\\{20{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-2.5}\\{{b}_{1}=50}\end{array}\right.$
∴y=-2.5t+50，
当20＜t≤40时，设y=k₂x+b₂，
把（20，0），（40，50）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{20{k}_{2}+{b}_{2}=0}\\{40{k}_{2}+{b}_{2}=50}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=2.5}\\{{b}_{2}=-50}\end{array}\right.$
∴y=2.5t-50．
故答案为：y=-2.5t+50，y=2.5t-50．
（3）因为赛道的长度为50米，乙的速度为2米/秒，所以乙由B₂到达A₂的时间为25秒； 
 乙在2分钟内的函数图象如图5所示：

（4）从上图可知甲、乙共相遇5次．
2分钟=120秒，120-25×4=20（s），
∴2分钟时，乙距池边B₁B₂的距离为：20×2=40（米）．

点评 本题主要考查函数模型的建立与应用，主要涉及了分段函数，以及分段函数的图象及其应用，解决本题的关键是用待定系数法求函数解析式，以及数形结合的思想与方法．