Question

如图在梯形ABCD中，两对角线AC、BD互相垂直于O点，且AC=6、BD=8，试求梯形ABCD的中位线MN及高h的长．

Answer 1

解：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，并延长MN交DE于K，交BD、AC于G、H，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，
又∵MN是梯形ABCD的中位线，
∴MN=（AD+BC），
∴MN=（CE+BC）=BE
又∵AC∥DE，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，
∴BE===10，
∴MN=5，
又∵S_△BDE=BD×DE=BE×h，
∴h=4.8．
分析：过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，并延长MN交DE于K，交BD、AC于G、H，那么根据平行四边形的判定可知，四边形ACED是平行四边形，即可得AD=CE，于是梯形的上下底都转化到了△BDE中，即BE=AD+BC，那么MN=（AD+BC）=×BE，再根据AC⊥BD，AC∥DE，可证△BDE是直角三角形，利用勾股定理可求BE，从而得出MN，也可以发现，△BDE的面积就等于梯形ABCD的面积，利用三角形的面积公式可求出梯形的高．
点评：本题利用了梯形中位线定理、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、三角形的面积公式等知识．关键是作辅助线，构造平行四边形．