题目内容
（2011•宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB、CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．（2）如果点E分线段AB为
| AE |
| EB |
| 1 |
| 3 |
3.5
3.5
（直接填写结果）；（3）如果点E分线段AB为
| AE |
| EB |
| m |
| n |
分析：（1）连接AF并延长交BC的延长线于点G，然后利用角边角证明△ADF与△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根据三角形的中位线定理即可得证明；
（2）过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG的长度，然后相加即可求出EF的长；
（3）与（2）同理可求出EF的长．
（2）过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，根据平行四边形的对边相等可得GF=AD，再根据平行线分线段成比例定理表示出EG的长度，然后相加即可求出EF的长；
（3）与（2）同理可求出EF的长．
解答：
解：（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
在△ADF与△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=
BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF=
（AD+BC），
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；
（2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵
=
，
∴
=
=
，
∴EG=
，
∴EF=EG+GF=
+AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF=
+3=3.5；
（3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵
=
，
∴
=
=
，
∴EG=
BH，
∴EF=EG+GF=
BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF=
×（b-a）+a=
．
解：（1）证明：如图1，连接AF并延长交BC的延长线于点G，∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC，
在△ADF与△GCF中，
|
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=
| 1 |
| 2 |
∵BG=BC+CG，
∴EF=
| 1 |
| 2 |
即梯形的中位线平行于底边并且等于两底和的一半；
（2）如图2，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵
| AE |
| EB |
| 1 |
| 3 |
∴
| EG |
| BH |
| AE |
| AB |
| 1 |
| 4 |
∴EG=
| BH |
| 4 |
∴EF=EG+GF=
| BH |
| 4 |
∵AD=3，BC=5，
∴EF=
| 5-3 |
| 4 |
（3）如图3，过点A作AH∥CD交EF于点G，交BC于点H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵
| AE |
| EB |
| m |
| n |
∴
| EG |
| BH |
| AE |
| AB |
| m |
| m+n |
∴EG=
| m |
| m+n |
∴EF=EG+GF=
| m |
| m+n |
∵AD=a，BC=b，
∴EF=
| m |
| m+n |
| mb+na |
| m+n |
点评：本题主要考查了梯形的中位线与平行线分线段成比例定理，通过作辅助线，把梯形的问题转化为三角形的中位线进行解答是解题的关键．
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