Question

11．四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AB=AC，在AD上截取AE，使AE=AB，连接BC、BE，AD与BC交于点G．
（1）求证：△BDG∽△ADC；
（2）若∠DAC=60°，求∠DBE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠DBG=∠DAC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠ADB=∠ADC，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，由外角的性质得到∠ABC+∠CBE=∠ADB+∠EBG，等量代换得到∠DBE=∠EBG=$\frac{1}{2}∠DBC$，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠DBG=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADB=∠ADC，
∴△BDG∽△ADC；

（2）∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABC+∠CBE=∠ADB+∠EBG，
∵∠ABG=∠ADB，
∴∠DBE=∠EBG=$\frac{1}{2}∠DBC$，
∵∠DBC=∠DAC=60°，
∴∠DBE=30°．

点评 本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．