Question

20．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AC的延长线上一点，DE与⊙O相切于点D，且DE⊥AC，连结OD，若AB=10，AC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 连结BC，如图，BC与OD相交于点F，利用圆周角定理得到BC⊥AE，则BC∥DE，再利用切线的性质得到OD⊥DE，接着利用垂径定理得到CF=$\frac{1}{2}$BC，接下来判定四边形CEDF是矩形得到DE=CF=$\frac{1}{2}$BC，然后利用勾股定理计算出BC，从而得到CF和DE的长．

解答 解：连结BC，如图，BC与OD相交于点F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AE，
又∵DE⊥AC，
∴BC∥DE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥BC，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC⊥AE，DE⊥AC，DE⊥AC，
∴四边形CEDF是矩形．
∴DE=CF=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CF=4，
∴DE=4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．