Question

【题目】如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，且．

（1）点为直线上方抛物线上一点，求四边形的面积的最大值；点、分别为射线、上的动点，当四边形面积取得最大值时，求当线段的值为最小值时点的坐标．

（2）把绕点旋转一定角度后得到，且点恰好在线段上，抛物线上的点与点关于抛物线对称轴对称，作，把沿直线平移后得到，在变换过程中是否存在为等腰三角形，若存在，直接写出此时的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根据题中条件求出直线BC的解析式，设，，四边形ABPC的面积，得出P点坐标，过点作关于轴的对称点，过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，交轴于点，此时的值最小．

(2)先求出D、K、C1的坐标和D1K1线段的长度，利用两点之间的距离公式，表示出的三边，分三种情况讨论：①当时；②当；③时即可．

解：(1) 抛物线与轴交于点，

∵，B（3，0）在直线BC上

设直线BC的解析式为

代入得：

过点作轴的垂线交直线于点，如图所示

设，

，

四边形ABPC的面积：

当时，

此时．

过点作关于轴的对称点，过点作关于轴的对称点，

连接交轴于点，交轴于点，此时的值最小．

如图所示：

设，

，

；

(2)∵

∴

∵点与点关于抛物线对称轴对称

∴，

∵A(-1，0)，

∴

过A1作A1G⊥AO，垂足为G，如图所示

设

∴

解得：

∴OG=，A1O=2OG

∴∠A1OG=60°

∴∠C1OB=30°

∵CO=OC1=

∴

设，则

则

当时

解得：

当和时

同理可得

∴