Question

已知抛物线y₁=（x-5）（x-a）与x轴交于定点A和另一点C．
（1）求定点A的坐标．
（2）以坐标原点为圆心，半径为

5

的圆交抛物线y₁=（x-5）（x-a）于点B，当直线AB与圆相切时，求y₁的解析式．
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P（P在点A的右上方），使△PAC、△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到顶点A的坐标；
（2）连接OB，过点B作BD⊥OA于D，根据切线的定义可得OB⊥AB，利用勾股定理列式求出AB的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出BD、OD的长，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入抛物线解析式计算求出a的值即可得解；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离相等，过点C作AB的平行线，与抛物线的交点即为所求的点P，然后联立抛物线与直线的解析式求解即可．

解答：解：（1）y=0，则（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
所以，定点A的坐标为（5，0）；

（2）连接OB，过点B作BD⊥OA于D，
∵直线AB与圆相切，
∴OB⊥AB，
∵OA=5，OB=

5

，
∴AB=

OA2-OB2

=

52- 5 2

=2

5

，
∵∠AOB=∠BOD，∠ABO=∠BDO=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴

BD

AB

=

OD

OB

=

OB

OA

，
即

BD

2 5

=

OD

5

=

5

5

，
解得BD=2，OD=1，
∴点B的坐标为（1，-2）或（1，2），
∵抛物线y₁=（x-5）（x-a）过点B，
∴（1-5）（1-a）=-2，
∴a=

1

2

，
∴y₁=（x-5）（x-

1

2

）；

（3）存在点P（

11

2

，

5

2

）．
理由如下：当B（1，-2）时，设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
则

5k+b=0 k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
所以，直线AB的解析式为y=

1

2

x-

5

2

，
∵点C的坐标为（

1

2

，0），
∴设过点C与AB平行的直线CP的解析式为y=

1

2

x+c，
则

1

2

×

1

2

+c=0，
解得c=-

1

4

，
所以，CP的解析式为y=

1

2

x-

1

4

，
∵CP∥AB，
∴点A、B到CP的距离相等，
∴△PAC、△PBC的面积相等，
此时，联立

y=(x-5)(x- 1 2 ) y= 1 2 x- 1 4

，
解得

x1= 1 2 y1=0

（为点C，舍去），

x2= 11 2 y2= 5 2

，
∴点P的坐标为（

11

2

，

5

2

）．
同理，当B（1，2）时，P（

11

2

，

5

2

）．
综上所述，满足条件的点P的坐标是（

11

2

，

5

2

）或（

11

2

，

5

2

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与x轴的交点问题，勾股定理的应用，直线与圆相切，相似三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离相等的性质，（3）是本题的难点，考虑利用CP∥AB求解是解题的关键．