Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=108°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE垂直平分AB交AB于点E．
（1）求∠B的度数；
（2）若AC=22，CD=13，DE=12，求△ACD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和得到∠CAB+∠B=72°，根据角平分线的定义得到∠DAE=∠CAE，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，于是得到∠DAE=∠B，即可得到结论；
（2）过D作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DF=DE=12，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=108°，
∴∠CAB+∠B=72°，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠DAE=∠CAE，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠CAB=2∠B，
∴∠B=24°，
（2）过D作DF⊥AC于F，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，
∴DF=DE=12，
∴CF=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=5，
∴AF=AC+CF=27，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=3$\sqrt{97}$，
∴△ACD的周长=AD+AC+CD=35+3$\sqrt{97}$．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．