Question

1．在平面直角坐标系中，设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示-3的点的距离为y．
（1）求y与x的函数解析式，并画出这个函数的图象；
（2）结合函数图象，回答下列问题：
①若沿x轴向右平移（1）的图象，使函数图象经过点A（0，1），得到新的函数，求新函数的解析式，并解释新函数的几何意义；
②若直线y₁=kx+b过点A（0，1），且直线y₁=kx+b与（1）的函数图象有两个交点，直接写出k₁的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数轴上两点间的距离，列式整理即可得解；
（2）利用两点法求出图象与坐标轴交点，作一次函数图象作图即可，结合函数图象解答．

解答 解：（1）由题意得，y=|x-（-3）|=|x+3|，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{x+3（x≥-3）}\\{-x-3（x＜-3）}\end{array}\right.$；
列表：

函数图象如图．

（2）①如图所示，将函数y=|x+3|的图象沿x轴向右平移2或4个单位，函数图象都经过点A（0，1），则新函数图象的解析式为：y=|x+1|或y=|x-1|，它表示点（x，0）与x轴上表示-1或1的点的距离为y的点的集合．

②如①中图象可知，若直线y₁=kx+b过点A（0，1），且直线y₁=kx+b与（1）的函数图象有两个交点，则k₁的取值范围是k₁＜-1或k₁＞1．

点评 本题考查了一次函数综合题，需要掌握待定系数法求一次函数解析式，作一次函数图象，两点间的距离等知识点，解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使问题变得形象化，降低了解题的难度．