题目内容
已知Rt△ABC，∠B=90°，直线EF分别于两直角边AB、AC交于E、F两点，且EF∥AC．P是斜边AC的中点，连接PE、PF，且已知AB=| 6 |
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（1）如图1，当E、F均为两直角边中点时，求证：四边形EPFB是矩形，并求出此时EF的长．
（2）如图2，设EF的长度为x（x＞0），当sin∠EPF=
| 4 |
| 5 |
（3）记△PEF 的面积为S，则当EP为多少时，S的值最大，并求出该最大值．
考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,矩形的判定与性质
专题：
分析：（1）先求出四边形EPFB是平行四边形，再由∠B=90°得出四边形EPFB是矩形，利用勾股定理求出EF．
（2）利用三角函数求出角的关系，再运用三角形相似求出x与EP的关系式．
（3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．
（2）利用三角函数求出角的关系，再运用三角形相似求出x与EP的关系式．
（3）作FH⊥AC交AC于点H，设EF=x，得出BF，CF及FH的值，再利用三角形面积求出EF及最大值，利用中位线定理即可求出EP的值．
解答：解：如图1，
∵E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP∥BC，且EP=
BC，
∵F是BC的中点，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四边形EPFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
∵AB=
，BC=
．
∴BE=
，BF=
，
∴EF=
=1．
（2）如图2，
∵sinA=
=
=
，sin∠EPF=
，
∴∠A=∠EPF，
∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，
∴△APE∽△PEF．
∴
=
，
∵AP=1，EP=x，
∴EP2=x，
∴EP=
．
（3）如力图3，作FH⊥AC交AC于点H，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设EF=x，则BF=
x，CF=
-
x，
∴FH=
CF=
-
x，
∴S=
EF•FH=-
x2+
x=-
（x-1）2+
∴当x=1时，S最大为
，
∵EF=1
∴此时点E，F为中点，
∴EP=
BC=
．
∵E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP∥BC，且EP=
| 1 |
| 2 |
∵F是BC的中点，
∴EP∥BF，且EP=BF，
四边形EPFB是平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
∵AB=
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| 5 |
∴BE=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴EF=
(
|
（2）如图2，
∵sinA=
| BC |
| AC |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴∠A=∠EPF，
∵EF∥AC，
∴∠APE=∠PEF，
∴△APE∽△PEF．
∴
| AP |
| EP |
| EP |
| EF |
∵AP=1，EP=x，
∴EP2=x，
∴EP=
| x |
（3）如力图3，作FH⊥AC交AC于点H，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
设EF=x，则BF=
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴FH=
| 3 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| 12 |
| 25 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 25 |
| 12 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
| 6 |
| 25 |
∴当x=1时，S最大为
| 6 |
| 25 |
∵EF=1
∴此时点E，F为中点，
∴EP=
| 1 |
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| 4 |
| 5 |
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及二次函数的最值，解题的关键是运用三角形相似及三角函数求出线段之间的关系．
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