Question

19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=2$\sqrt{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质可知：∠OCD=90°，从而可知OC∥AD，由于OC=OA，从而可证明AC平分∠DAB；
（2）由于∠B=60°，所以∠CAB=30°，所以∠DAC=30°，从而可求出AD的长度．

解答 解：（1）连接OC，
∵CD与⊙O相切，
∴∠OCD=90°，
∵∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAB，
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠CAO=30°，
由（1）可知：∠DAC=∠CAO=30°，
在Rt△ADC中，
tan30°=$\frac{CD}{AD}$，CD=2$\sqrt{3}$
∴AD=6

点评 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，角平分线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型．