Question

16．阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x₁，x₂，
（1）若x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是增函数；
（2）若x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）=$\frac{2}{x}$（x＞0）是减函数．
证明：假设x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=$\frac{2}{x}$（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0），f（1）=$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，f（2）=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
计算：f（3）=$\frac{1}{9}$，f（4）=$\frac{1}{16}$，猜想f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是减函数（填“增”或“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题意把x=3，x=4代入，再比较其大小即可；
（2）假设x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0，再作差比较即可．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0），f（1）=$\frac{1}{{1}^{2}}$=1，f（2）=$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴f（3）=$\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{1}{9}$，f（4）=$\frac{1}{{4}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，
∵$\frac{1}{9}$＞$\frac{1}{16}$，
∴猜想f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是减函数．
故答案为：$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{16}$，减；

（2）证明：假设x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$=$\frac{{（x}_{2}-{x}_{1}{）（x}_{2}+{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$，
∵x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，x₁²•x₂²＞0，
∴$\frac{{（x}_{2}-{x}_{1}）{（x}_{2}+{x}_{1}）}{{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}}$＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是减函数．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，根据题中所给出的材料假设出x₁＜x₂，且x₁＞0，x₂＞0，再比较出其大小即可．