Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，连结CO．BD∥OC交⊙O于D，延长AB、CD交于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若tan∠BDE=

1

2

，且BE=2，求线段BD的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先利用SAS证明△COD≌△COB，然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CE是⊙O的切线；
（2）先证得△EDB∽△EAD，根据相似三角形对应边成比例得出DE=2BE=4，AE=2DE=8，AB=AE-BE=6，然后根据勾股定理即可求得线段BD的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AC为⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
∴∠OAC=90°，
∵BD∥OC，
∴∠OBD=∠AOC，∠ODB=∠COD，
∵OB、OD为⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠AOC=∠DOC．
在△CDO和△CAO中，

OA=OD ∠AOC=∠DOC CO=CO

，
∴△COD≌△COA（SAS），
∴∠CDO=∠CAO=90°，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠BDE=∠OAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ODE=90°，
∴∠BDE=∠ODA=∠OAD，
∴tan∠BAD=tan∠BDE=

1

2

，即tan∠BAD=

BD

DA

=

1

2

，
∵∠DEB=∠AED，∠BDE=∠EAD
∴△EDB∽△EAD，
∴

BE

DE

=

DE

AE

=

BD

DA

=

1

2

，
∴DE=2BE=4，AE=2DE=8，AB=AE-BE=6，
在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD²+BD²=AB²，
∵AD=2BD，
∴（2BD）²+BD²=6²，
∴BD=

6 5

5

．

点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质相似三角形的判定和性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合与方程思想的应用．