题目内容
19．
如图，正比例函数y=2x和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，过点A作平行于x轴的直线交y轴正半轴于C，△AOC的面积是4．（1）k的值为8，A点坐标为（2，4）；
（2）不等式$2x-\frac{k}{x}＞0$的解集为0＞x＞-2或x＞2；
（3）P是x轴正半轴上的一点，Q是直线AC上的一点，若以A、O、P、Q为顶点的四边形是菱形，求P点坐标．
分析 （1）由AC∥x轴，△AOC的面积是4可得|k|=2×4=8，由图象在一、三象限，即可求得k的值；由点A是正比例函数与反比例函数的交点，故将两个函数解析式联立为方程组，解出即可求得坐标；（2）将不等式变形为2x＞$\frac{k}{x}$，再由A点的坐标，求得B点的坐标，利用图象及A、B两点的横坐标即可得到解集；（3）分两种情况①AO为菱形的边，点Q在点A的右侧，求得线段OA的长度，即可得到线段OP的长度，即可得到坐标；②AO为菱形的对角线，则点P在点A的左侧，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，设点P的坐标为（x，0）在Rt△ADP中利用勾股定理得到关于x的方程，解出即可得到坐标．
解答 解：（1）∵AC∥x轴，
∴AC⊥y轴，
∵点A在反比例函数图象上，△AOC的面积是4，
∴|k|=2×4=8，
∴k=±8，
∵图象在一、三象限，
∴k=8；
∵正比例函数y=2x和反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（2，4），
故答案为：8，（2，4）；
（2）把$2x-\frac{k}{x}＞0$变形为2x＞$\frac{k}{x}$，
由（1）可知点A、B的坐标分别为（2，4）（-2，-4），
2x＞$\frac{k}{x}$的解集即当正比例函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，
所以由图象可知：当0＞x＞-2或x＞2时，正比例函数值大于反比例函数值
，
故$2x-\frac{k}{x}＞0$的解集为0＞x＞-2或x＞2，
故答案为：0＞x＞-2或x＞2；
（3）∵以点A、O、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况：
①AO为菱形的边，点Q在点A的右侧，如图1，
过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，
∵点A的坐标为（2，4），
∴AO=2$\sqrt{5}$，
∴OP=OA=2$\sqrt{5}$，
∴点P的坐标为：（2$\sqrt{5}$，0）；
②如图2，AO为菱形的对角线，则点P在点A的左侧，
设点P的横坐标为x，则线段DP为x-2，AP为x，
在Rt△ADP中，可得x2-（x-2）2=42，
解得，x=5，
所以点P的坐标为：（5，0），
故若以A、O、P、Q为顶点的四边形是菱形，P点坐标为：（2$\sqrt{5}$，0）或（5，0）．
点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系．
学练快车道口算心算速算天天练系列答案| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
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