Question

9．如图，AB为⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED、EB，切点分别为点D，B，连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE．
（1）试判断OE与AC的关系，并说明理由；
（2）填空：
①当∠BAC=45°时，四边形ODEB是正方形．
②当∠BAC=30°时，$\frac{AD}{DE}$的值为4．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质，由DE是⊙O的切线得到∠ODE=90°，再利用“HL”证明Rt△ODE≌Rt△OBE，得到ED=EB，∠1=∠2，由三角形外角性质得∠BOD=∠A+∠3，加上∠A=∠3，则∠2=∠4，于是可判断OE∥AC；
（2）①根据全等三角形的性质得到ED=EB，根据圆周角定理得到∠DOB=90°，于是得到结论；
②过O作OH⊥AD于H，根据等腰三角形的性质得到∠3=∠A=30°，得到OD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD，得到OD=$\sqrt{3}$DE，列方程即可得到结论．

解答 解（1）OE∥AC，OE=$\frac{1}{2}$AC，
理由：连接OD，
∵DE，BE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，AB⊥BC，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∵OD=OB，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OBE（HL）
∴∠1=∠2，
∵∠BOD=∠A+∠3，OA=OD，
∴∠A=∠3，
∴∠2=∠A，
∴OE∥AC，∵OA=OB，∴EC=EB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC，
（2）①∵Rt△ODE≌Rt△OBE，
∴ED=EB，
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°，
∴∠DOB=∠ODE=∠B=90°，
∴四边形ODEB是正方形；
②过O作OH⊥AD于H，
∵∠A=30°，OA=OD，
∴∠3=∠A=30°，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD，
∵∠ODE=90°，∠1=∠3=30°，
∴OD=$\sqrt{3}$DE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$AD=$\sqrt{3}$DE，
∵AD=nDE，
∴n=4．
故答案为：45°，4．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．