Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，若CD＝5，以D为圆心，DC长为半径作⊙D交CA的延长线于E，过D作DF⊥AC，垂足为F，且DF＝3．

（1）求证：BC是⊙D的切线；

（2）求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据四边形ABCD是矩形得∠BCD＝90°，即可证明；

（2）先求出EF长，再证明△ADF∽△DCF，然后根据相似比求出AF，从而求出AE长.

解：（1）∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

∴BC⊥CD，

∴BC是⊙D的切线；

（2）∵DF⊥AC，即DF⊥CE，

∴EF＝FC，

∵CD＝5，DF＝3，

∴CF＝=4，

∴EF＝4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝DCF，

∴△ADF∽△DCF，

∴，

∴，

∴AF＝，

∴AE＝4-=．